분수비교 용병법 원리 설명

\(\cfrac{73}{187}\)  과 \(\cfrac{92}{227}\) 을 비교할 때 어느 쪽이 더 큰지 눈에 잘 안 들어온다.
한쪽의 분자와 분모가 다른 쪽보다 모두 큰 경우에 (92 > 73, 227 > 187), 두 값의 차를 구해낸 새로운 분수(용병 분수)를 가져와 비교하면 쉽게 해결된다.
용병은 19/40 이고 분모분자에 4를 곱해주면 76/160 이므로, 73/187보다 크다.
따라서 73/187 < 92/227이다.
 
용병 분수를 써도 되는 이유를 직관적으로 보여주면 아래와 같다.
73/187  (비교할 분수1, Ab)
92/227  (비교할 분수2, AC)
19/40    (분수2 대신 쓰는 용병 분수, bC)
 

 
수식으로 설명하면 아래처럼 나온다. (이부분은 내가 전개했다.)
Let, a/b < c/d and 0<a<c, 0<b<d

Then, a/b < c/d= (a+p)/(b+q)

by setting c=a+p, d=b+q.  with p >0,  q >0
 
a(b+q)=ab+aq < b(a+p)=ab+bp    
aq < bp
a/b < p/q  (Note that p/q is called a mercenary fraction)
 

두 분수가 모두 음수여도 절대값을 씌웠을때 위 조건과 같으면, 똑같이 용병분수를 가져와서 비교해도 성립한다.

(한쪽의 분자와 분모의 절대값이 다른 쪽의 절대값보다 각각 더 큰 경우)

간단예시 -7/8 과  -9/10 비교
(용병분수는 - 2/2=-1이고 -7/8 > -1이므로  -7/8 > -9/10 )

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내가, 그래프를 활용한 설명을 본 곳.
유튜버: 인공지능수학 깨봉
영상제목: 분수 크기 비교, 계산없이 5초 만에 하는 법!
https://youtu.be/DndMyo--qbk?t=242