역함수 설명에서, 변수 바꾸기 과정을 이해하기 쉽게 해보기

최대한 쉽게 설명한답시고 썼는데, 안 쉬울지도...

 

나무위키 역함수 이미지

y=f(x)의 역함수를 구하는 과정은 대체로 다음과 같다.

 

1. 주어진 함수 y=f(x)에서
2. 변수 x와 y의 위치를 바꾸어 f^-1 (y)=x 로 둔다음
3. 변수를 재설정하여 y =  f^-1 (x) 라고 한다.

 

이 때, 변수를 재설정하는 부분에서 당황스러울 때가 있다.

왜냐 하면 무의식 중에 1,2,3의 x와 y를 고정 변수로 인식하기 때문이다.

 

사실 1~2와 3의 x,y가 다른 변수다.

 

변수를 좀 다르게 쓰는 게 좋다.

 

1. 주어진 함수 y=f(x)에
   값 x0 대신 값 t를 넣으면, 값 y0 대신 z가 나온다고 생각하여
   z=f(t)로 바꾸어 본다.
2. f의 역함수를 g로 표시하면, g(z)=f g(t) = t 이다.
   t = g(z) 로 둔다.
   
   
3. 다시 값 t 대신 x0를 넣고, z 대신 y0를 넣어도 잘 작동한다.
   y0 =  g(x0) 라고 한다.
   
   
4. 모든 x0, y0에 대해 성립하니까 x, y를 넣어도 무방하다.
   그리고 g 대신 f^-1 이라는 식을 쓰기로 한다.
   싹 바꿔주면
   y =  f^-1 (x)  이다.

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